|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Welke formule is nu precies de formule van Cardano?
Hallo wisfaq,
Laat H een complexe Hilbertruimte zijn en stel dat T een compacte en positieve operator is in B(H).Ik wil laten zien dat er voor iedere m in {1,2,3,...} een compacte en positieve operator S bestaat in B(H) zodat S^m=T.
Ik denk dat ik het volgende kan gebruiken bij het bewijs, maar misschien kan het ook anders:
Stelling1.Als X een genormeerde ruimte is, Y een Banachruimte en {T_k} is een rij van begrensde, eindige operatoren die convergeert naar T in B(X,Y), dan is T compact.
Stelling2.Laat T in B(H) zelfgeadjungeerd zijn en positief.Dan bestaat er een positieve zelfgadj. operator S in B(H) met S^2=T.Men schrijft S=T^(1/2).
Representatie voor Tx: Tx=som{l_n*(x,e_n)*e_n}, de som gaat van n=1 t/m r(T), met r(T) het aantal eigenwaarden van T (eigenwaarden zijn ongelijk 0).
{e_n} (n=1 t/tm r(t)) is de verzameling eingenvectoren die een basis vormen voor de geconjugeerde van Im T.
{l_n} is de verz. van eigenwaarden van T.
Groeten,
Viky
Antwoord
Ik zou de spectraalstelling gebruiken: de operator is zelf-geadjungeerd en omdat hij compact is te schrijven als som(liPi,i=1..r), waarbij r het aantal eigenwaarden ongelijk nul is en Pi de bij li behorende eigenruimte (omdat T compact is convergeert de rij van eigenwaarden naar 0 als r oneindig is).
Elke li is positief; laat mi de m-demachtswortel van li zijn en definieer S=som(miPi,i=1..r); dan is S als gevraagd
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
